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Die grundlegende Annahme hinter Mittelwertbildung und Glättungsmodellen ist, dass die Zeitreihe lokal stationär mit einem sich langsam verändernden Mittelwert ist. Daher nehmen wir einen bewegten (lokalen) Durchschnitt, um den aktuellen Wert des Mittelwerts abzuschätzen und dann als die Prognose für die nahe Zukunft zu verwenden. Dies kann als Kompromiss zwischen dem mittleren Modell und dem random-walk-ohne-Drift-Modell betrachtet werden. Die gleiche Strategie kann verwendet werden, um einen lokalen Trend abzuschätzen und zu extrapolieren. Ein gleitender Durchschnitt wird oft als "quotsmoothedquot" - Version der ursprünglichen Serie bezeichnet, da die kurzzeitige Mittelung die Wirkung hat, die Stöße in der ursprünglichen Reihe zu glätten. Durch Anpassen des Glättungsgrades (die Breite des gleitenden Durchschnitts) können wir hoffen, eine Art von optimaler Balance zwischen der Leistung des Mittelwerts und der zufälligen Wandermodelle zu erreichen. Die einfachste Art der Mittelung Modell ist die. Einfache (gleichgewichtige) Moving Average: Die Prognose für den Wert von Y zum Zeitpunkt t1, der zum Zeitpunkt t gemacht wird, entspricht dem einfachen Mittelwert der letzten m Beobachtungen: (Hier und anderswo werde ich das Symbol 8220Y-hat8221 stehen lassen Für eine Prognose der Zeitreihe Y, die am frühestmöglichen früheren Zeitpunkt durch ein gegebenes Modell durchgeführt wird.) Dieser Mittelwert wird in der Periode t (m1) / 2 zentriert, was bedeutet, daß die Schätzung des lokalen Mittels dazu neigt, hinter dem Wert zu liegen Wahren Wert des lokalen Mittels um etwa (m1) / 2 Perioden. Das Durchschnittsalter der Daten im einfachen gleitenden Durchschnitt ist also (m1) / 2 relativ zu der Periode, für die die Prognose berechnet wird: dies ist die Zeitspanne, in der die Prognosen dazu tendieren, hinter den Wendepunkten in der Region zu liegen Daten. Wenn Sie z. B. die letzten 5 Werte mitteln, werden die Prognosen etwa 3 Perioden spät sein, wenn sie auf Wendepunkte reagieren. Beachten Sie, dass, wenn m1, die einfache gleitende Durchschnitt (SMA) - Modell ist gleichbedeutend mit der random walk-Modell (ohne Wachstum). Wenn m sehr groß ist (vergleichbar der Länge des Schätzzeitraums), entspricht das SMA-Modell dem mittleren Modell. Wie bei jedem Parameter eines Prognosemodells ist es üblich, den Wert von k anzupassen, um den besten Quotienten der Daten zu erhalten, d. H. Die kleinsten Prognosefehler im Durchschnitt. Hier ist ein Beispiel einer Reihe, die zufällige Fluktuationen um ein sich langsam veränderndes Mittel zu zeigen scheint. Erstens können wir versuchen, es mit einem zufälligen Weg Modell, das entspricht einem einfachen gleitenden Durchschnitt von 1 Begriff entspricht: Das zufällige Wandermodell reagiert sehr schnell auf Änderungen in der Serie, aber dabei nimmt sie einen Großteil der quotnoisequot in der Daten (die zufälligen Fluktuationen) sowie das Quotsignalquot (das lokale Mittel). Wenn wir stattdessen einen einfachen gleitenden Durchschnitt von 5 Begriffen anwenden, erhalten wir einen glatteren Satz von Prognosen: Der 5-Term-einfache gleitende Durchschnitt liefert in diesem Fall deutlich kleinere Fehler als das zufällige Wegmodell. Das durchschnittliche Alter der Daten in dieser Prognose beträgt 3 ((51) / 2), so dass es dazu neigt, hinter den Wendepunkten um etwa drei Perioden zu liegen. (Zum Beispiel scheint ein Abschwung in Periode 21 aufgetreten zu sein, aber die Prognosen drehen sich erst nach mehreren Perioden später.) Beachten Sie, dass die Langzeitprognosen des SMA-Modells eine horizontale Gerade sind, genau wie beim zufälligen Weg Modell. Somit geht das SMA-Modell davon aus, dass es keinen Trend in den Daten gibt. Während jedoch die Prognosen aus dem Zufallswegmodell einfach dem letzten beobachteten Wert entsprechen, sind die Prognosen des SMA-Modells gleich einem gewichteten Mittelwert der neueren Werte. Die von Statgraphics berechneten Konfidenzgrenzen für die Langzeitprognosen des einfachen gleitenden Durchschnitts werden nicht breiter, wenn der Prognosehorizont zunimmt. Dies ist offensichtlich nicht richtig Leider gibt es keine zugrunde liegende statistische Theorie, die uns sagt, wie sich die Vertrauensintervalle für dieses Modell erweitern sollten. Allerdings ist es nicht zu schwer, empirische Schätzungen der Konfidenzgrenzen für die längerfristigen Prognosen zu berechnen. Beispielsweise können Sie eine Tabellenkalkulation einrichten, in der das SMA-Modell für die Vorhersage von 2 Schritten im Voraus, 3 Schritten voraus usw. innerhalb der historischen Datenprobe verwendet wird. Sie könnten dann die Stichproben-Standardabweichungen der Fehler bei jedem Prognosehorizont berechnen und dann Konfidenzintervalle für längerfristige Prognosen durch Addieren und Subtrahieren von Vielfachen der geeigneten Standardabweichung konstruieren. Wenn wir einen 9-term einfachen gleitenden Durchschnitt ausprobieren, erhalten wir sogar noch bessere Prognosen und mehr eine nacheilende Wirkung: Das Durchschnittsalter beträgt jetzt 5 Perioden ((91) / 2). Wenn wir einen 19-term gleitenden Durchschnitt nehmen, steigt das Durchschnittsalter auf 10 an: Beachten Sie, dass die Prognosen tatsächlich hinter den Wendepunkten um etwa 10 Perioden zurückbleiben. Welches Maß an Glättung ist am besten für diese Serie Hier ist eine Tabelle, die ihre Fehlerstatistiken vergleicht, darunter auch einen 3-Term-Durchschnitt: Modell C, der 5-Term-Gleitender Durchschnitt, ergibt den niedrigsten Wert von RMSE mit einer kleinen Marge über die 3 - term und 9-Term-Mittelwerte, und ihre anderen Statistiken sind fast identisch. So können wir bei Modellen mit sehr ähnlichen Fehlerstatistiken wählen, ob wir ein wenig mehr Reaktionsfähigkeit oder ein wenig mehr Glätte in den Prognosen bevorzugen würden. (Rückkehr nach oben.) Browns Einfache Exponentialglättung (exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt) Das oben beschriebene einfache gleitende Durchschnittsmodell hat die unerwünschte Eigenschaft, daß es die letzten k-Beobachtungen gleich und vollständig ignoriert. Intuitiv sollten vergangene Daten in einer allmählicheren Weise diskontiert werden - zum Beispiel sollte die jüngste Beobachtung ein wenig mehr Gewicht als die zweitletzte erhalten, und die 2. jüngsten sollten ein wenig mehr Gewicht als die 3. jüngsten erhalten, und bald. Das einfache exponentielle Glättungsmodell (SES) erfüllt dies. 945 bezeichnen eine quotsmoothing constantquot (eine Zahl zwischen 0 und 1). Eine Möglichkeit, das Modell zu schreiben, besteht darin, eine Serie L zu definieren, die den gegenwärtigen Pegel (d. H. Den lokalen Mittelwert) der Serie, wie er aus Daten bis zu der Zeit geschätzt wird, darstellt. Der Wert von L zur Zeit t wird rekursiv von seinem eigenen vorherigen Wert wie folgt berechnet: Somit ist der aktuelle geglättete Wert eine Interpolation zwischen dem vorher geglätteten Wert und der aktuellen Beobachtung, wobei 945 die Nähe des interpolierten Wertes auf die neueste steuert Überwachung. Die Prognose für die nächste Periode ist einfach der aktuelle geglättete Wert: Äquivalent können wir die nächste Prognose direkt in Form früherer Prognosen und früherer Beobachtungen in einer der folgenden gleichwertigen Versionen ausdrücken. In der ersten Version ist die Prognose eine Interpolation zwischen früheren Prognosen und früheren Beobachtungen: In der zweiten Version wird die nächste Prognose durch Anpassung der bisherigen Prognose in Richtung des bisherigen Fehlers um einen Bruchteil 945 erhalten Zeit t. In der dritten Version ist die Prognose ein exponentiell gewichteter (dh diskontierter) gleitender Durchschnitt mit Abzinsungsfaktor 1-945: Die Interpolationsversion der Prognoseformel ist am einfachsten zu verwenden, wenn Sie das Modell in einer Tabellenkalkulation implementieren Einzelne Zelle und enthält Zellverweise, die auf die vorhergehende Prognose, die vorherige Beobachtung und die Zelle mit dem Wert von 945 zeigen. Beachten Sie, dass, wenn 945 1, das SES-Modell zu einem zufälligen Weg-Modell (ohne Wachstum) äquivalent ist. Wenn 945 0 ist, entspricht das SES-Modell dem mittleren Modell, wobei angenommen wird, dass der erste geglättete Wert gleich dem Mittelwert gesetzt ist. (Zurück zum Seitenanfang) Das Durchschnittsalter der Daten in der Simple-Exponential-Glättungsprognose beträgt 1/945 relativ zu dem Zeitraum, für den die Prognose berechnet wird. (Dies sollte nicht offensichtlich sein, kann aber leicht durch die Auswertung einer unendlichen Reihe gezeigt werden.) Die einfache gleitende Durchschnittsprognose neigt daher zu Verzögerungen hinter den Wendepunkten um etwa 1/945 Perioden. Wenn beispielsweise 945 0,5 die Verzögerung 2 Perioden beträgt, wenn 945 0,2 die Verzögerung 5 Perioden beträgt, wenn 945 0,1 die Verzögerung 10 Perioden und so weiter ist. Für ein gegebenes Durchschnittsalter (d. H. Eine Verzögerung) ist die einfache exponentielle Glättungsprognose (SES) der simplen gleitenden Durchschnittsprognose (SMA) etwas überlegen, weil sie relativ viel mehr Gewicht auf die jüngste Beobachtung - i. e stellt. Es ist etwas mehr quresponsivequot zu Änderungen, die sich in der jüngsten Vergangenheit. Zum Beispiel haben ein SMA - Modell mit 9 Terminen und ein SES - Modell mit 945 0,2 beide ein durchschnittliches Alter von 5 Jahren für die Daten in ihren Prognosen, aber das SES - Modell legt mehr Gewicht auf die letzten 3 Werte als das SMA - Modell und am Gleiches gilt für die Werte von mehr als 9 Perioden, wie in dieser Tabelle gezeigt: 822forget8221. Ein weiterer wichtiger Vorteil des SES-Modells gegenüber dem SMA-Modell ist, dass das SES-Modell einen Glättungsparameter verwendet, der kontinuierlich variabel ist und somit leicht optimiert werden kann Indem ein Quotsolverquot-Algorithmus verwendet wird, um den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren. Der optimale Wert von 945 im SES-Modell für diese Serie ergibt sich wie folgt: Das Durchschnittsalter der Daten in dieser Prognose beträgt 1 / 0,2961 3,4 Perioden, was ähnlich wie bei einem 6-Term-Simple Moving ist durchschnittlich. Die Langzeitprognosen aus dem SES-Modell sind eine horizontale Gerade. Wie im SMA-Modell und dem Random-Walk-Modell ohne Wachstum. Es ist jedoch anzumerken, dass die von Statgraphics berechneten Konfidenzintervalle nun in einer vernünftigen Weise abweichen und dass sie wesentlich schmaler sind als die Konfidenzintervalle für das Zufallswegmodell. Das SES-Modell geht davon aus, dass die Serie etwas vorhersehbarer ist als das Zufallswandermodell. Ein SES-Modell ist eigentlich ein Spezialfall eines ARIMA-Modells. So dass die statistische Theorie der ARIMA-Modelle eine solide Grundlage für die Berechnung der Konfidenzintervalle für das SES-Modell bildet. Insbesondere ist ein SES-Modell ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz, einem MA (1) - Term und kein konstanter Term. Ansonsten als quotARIMA (0,1,1) - Modell ohne Konstantquot bekannt. Der MA (1) - Koeffizient im ARIMA-Modell entspricht der Größe 1 - 945 im SES-Modell. Wenn Sie zum Beispiel ein ARIMA-Modell (0,1,1) ohne Konstante an die hier analysierte Serie anpassen, ergibt sich der geschätzte MA (1) - Koeffizient auf 0,7029, was fast genau ein Minus von 0,2961 ist. Es ist möglich, die Annahme eines von Null verschiedenen konstanten linearen Trends zu einem SES-Modell hinzuzufügen. Dazu wird ein ARIMA-Modell mit einer nicht sonderbaren Differenz und einem MA (1) - Term mit konstantem, d. H. Einem ARIMA-Modell (0,1,1) mit konstantem Wert angegeben. Die langfristigen Prognosen haben dann einen Trend, der dem durchschnittlichen Trend über den gesamten Schätzungszeitraum entspricht. Sie können dies nicht in Verbindung mit saisonalen Anpassungen tun, da die saisonalen Anpassungsoptionen deaktiviert sind, wenn der Modelltyp auf ARIMA gesetzt ist. Sie können jedoch einen konstanten langfristigen exponentiellen Trend zu einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell (mit oder ohne saisonale Anpassung) hinzufügen, indem Sie die Inflationsanpassungsoption im Prognoseverfahren verwenden. Die prozentuale Zinssatzquote (prozentuale Wachstumsrate) pro Periode kann als der Steigungskoeffizient in einem linearen Trendmodell geschätzt werden, das an die Daten in Verbindung mit einer natürlichen Logarithmuswandlung angepasst ist, oder es kann auf anderen unabhängigen Informationen bezüglich der langfristigen Wachstumsperspektiven beruhen . (Rückkehr nach oben.) Browns Linear (dh doppelt) Exponentielle Glättung Die SMA-Modelle und SES-Modelle gehen davon aus, dass es in den Daten keine Tendenzen gibt (die in der Regel in Ordnung sind oder zumindest nicht zu schlecht für 1- Wenn die Daten relativ verrauscht sind), und sie können modifiziert werden, um einen konstanten linearen Trend, wie oben gezeigt, zu integrieren. Was ist mit kurzfristigen Trends Wenn eine Serie eine unterschiedliche Wachstumsrate oder ein zyklisches Muster zeigt, das sich deutlich gegen das Rauschen auszeichnet, und wenn es notwendig ist, mehr als eine Periode vorher zu prognostizieren, könnte die Schätzung eines lokalen Trends auch sein Ein Problem. Das einfache exponentielle Glättungsmodell kann verallgemeinert werden, um ein lineares exponentielles Glättungsmodell (LES) zu erhalten, das lokale Schätzungen sowohl des Niveaus als auch des Trends berechnet. Das einfachste zeitvariable Trendmodell ist Browns lineares exponentielles Glättungsmodell, das zwei verschiedene geglättete Serien verwendet, die zu verschiedenen Zeitpunkten zentriert sind. Die Prognoseformel basiert auf einer Extrapolation einer Linie durch die beiden Zentren. (Eine weiterentwickelte Version dieses Modells, Holt8217s, wird unten diskutiert.) Die algebraische Form des Brown8217s linearen exponentiellen Glättungsmodells, wie die des einfachen exponentiellen Glättungsmodells, kann in einer Anzahl von unterschiedlichen, aber äquivalenten Formen ausgedrückt werden. Die quadratische quadratische Form dieses Modells wird gewöhnlich wie folgt ausgedrückt: Sei S die einfach geglättete Reihe, die durch Anwendung einfacher exponentieller Glättung auf Reihe Y erhalten wird. Das heißt, der Wert von S in der Periode t ist gegeben durch: (Erinnern wir uns, Exponentielle Glättung, so würde dies die Prognose für Y in der Periode t1 sein.) Dann sei Squot die doppelt geglättete Folge, die man erhält, indem man eine einfache exponentielle Glättung (unter Verwendung desselben 945) auf die Reihe S anwendet: Schließlich die Prognose für Ytk. Für jedes kgt1 ist gegeben durch: Dies ergibt e & sub1; & sub0; (d. h. Cheat ein Bit und die erste Prognose der tatsächlichen ersten Beobachtung gleich) und e & sub2; Y & sub2; 8211 Y & sub1; Nach denen die Prognosen unter Verwendung der obigen Gleichung erzeugt werden. Dies ergibt die gleichen Anpassungswerte wie die Formel auf der Basis von S und S, wenn diese mit S 1 S 1 Y 1 gestartet wurden. Diese Version des Modells wird auf der nächsten Seite verwendet, die eine Kombination von exponentieller Glättung mit saisonaler Anpassung veranschaulicht. Holt8217s Lineares Exponentialglättung Brown8217s LES-Modell berechnet lokale Schätzungen von Pegel und Trend durch Glätten der letzten Daten, aber die Tatsache, dass dies mit einem einzigen Glättungsparameter erfolgt, legt eine Einschränkung für die Datenmuster fest, die es anpassen kann: den Pegel und den Trend Dürfen nicht zu unabhängigen Preisen variieren. Holt8217s LES-Modell adressiert dieses Problem durch zwei Glättungskonstanten, eine für die Ebene und eine für den Trend. Zu jedem Zeitpunkt t, wie in Brown8217s-Modell, gibt es eine Schätzung L t der lokalen Ebene und eine Schätzung T t der lokalen Trend. Hier werden sie rekursiv aus dem zum Zeitpunkt t beobachteten Wert von Y und den vorherigen Schätzungen von Pegel und Trend durch zwei Gleichungen berechnet, die exponentielle Glättung separat anwenden. Wenn der geschätzte Pegel und der Trend zum Zeitpunkt t-1 L t82091 und T t-1 sind. Dann ist die Prognose für Y tshy, die zum Zeitpunkt t-1 gemacht worden wäre, gleich L t-1 T t-1. Wenn der tatsächliche Wert beobachtet wird, wird die aktualisierte Schätzung des Pegels rekursiv berechnet, indem zwischen Y tshy und seiner Prognose L t-1 T t-1 unter Verwendung von Gewichten von 945 und 1- 945 interpoliert wird. Die Änderung des geschätzten Pegels, Nämlich L t 8209 L t82091. Kann als eine verrauschte Messung des Trends zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die aktualisierte Schätzung des Trends wird dann rekursiv berechnet, indem zwischen L t 8209 L t82091 und der vorherigen Schätzung des Trends T t-1 interpoliert wird. Unter Verwendung der Gewichte von 946 und 1-946: Die Interpretation der Trendglättungskonstanten 946 ist analog zu der Pegelglättungskonstante 945. Modelle mit kleinen Werten von 946 nehmen an, dass sich der Trend mit der Zeit nur sehr langsam ändert, während Modelle mit Größere 946 nehmen an, dass sie sich schneller ändert. Ein Modell mit einem großen 946 glaubt, dass die ferne Zukunft sehr unsicher ist, da Fehler in der Trendschätzung bei der Prognose von mehr als einer Periode ganz wichtig werden. (Rückkehr nach oben) Die Glättungskonstanten 945 und 946 können auf übliche Weise geschätzt werden, indem der mittlere quadratische Fehler der 1-Schritt-Voraus-Prognosen minimiert wird. Wenn dies in Statgraphics getan wird, erweisen sich die Schätzungen als 945 0.3048 und 946 0,008. Der sehr geringe Wert von 946 bedeutet, dass das Modell eine sehr geringe Veränderung im Trend von einer Periode zur nächsten annimmt, so dass dieses Modell im Grunde versucht, einen langfristigen Trend abzuschätzen. In Analogie zum Durchschnittsalter der Daten, die für die Schätzung der lokalen Ebene der Serie verwendet werden, ist das Durchschnittsalter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, proportional zu 1/946, wenn auch nicht exakt gleich es. In diesem Fall ergibt sich 1 / 0,006 125. Dies ist eine sehr genaue Zahl, da die Genauigkeit der Schätzung von 946 nicht wirklich 3 Dezimalstellen beträgt, sondern dieselbe von der gleichen Größenordnung wie die Stichprobengröße von 100 ist , So dass dieses Modell ist im Durchschnitt über eine ganze Menge Geschichte bei der Schätzung der Trend. Das Prognose-Diagramm unten zeigt, dass das LES-Modell einen etwas größeren lokalen Trend am Ende der Serie schätzt als der im SEStrend-Modell geschätzte konstante Trend. Außerdem ist der Schätzwert von 945 fast identisch mit dem, der durch Anpassen des SES-Modells mit oder ohne Trend erhalten wird, so dass dies fast das gleiche Modell ist. Nun, sehen diese aussehen wie vernünftige Prognosen für ein Modell, das soll Schätzung einer lokalen Tendenz Wenn Sie 8220eyeball8221 dieser Handlung, sieht es so aus, als ob der lokale Trend nach unten am Ende der Serie gedreht hat Was ist passiert Die Parameter dieses Modells Wurden durch Minimierung des quadratischen Fehlers von 1-Schritt-Voraus-Prognosen, nicht längerfristigen Prognosen, abgeschätzt, wobei der Trend keinen großen Unterschied macht. Wenn alles, was Sie suchen, 1-Schritt-vor-Fehler sind, sehen Sie nicht das größere Bild der Trends über (sagen) 10 oder 20 Perioden. Um dieses Modell im Einklang mit unserer Augapfel-Extrapolation der Daten zu erhalten, können wir die Trendglättungskonstante manuell anpassen, so dass sie eine kürzere Basislinie für die Trendschätzung verwendet. Wenn wir beispielsweise 946 0,1 setzen, beträgt das durchschnittliche Alter der Daten, die bei der Schätzung des lokalen Trends verwendet werden, 10 Perioden, was bedeutet, dass wir den Trend über die letzten 20 Perioden oder so mitteln. Here8217s, was das Prognose-Plot aussieht, wenn wir 946 0,1 setzen, während 945 0,3 halten. Dies scheint intuitiv vernünftig für diese Serie, obwohl es wahrscheinlich gefährlich, diesen Trend mehr als 10 Perioden in der Zukunft zu extrapolieren. Was ist mit den Fehlerstatistiken Hier ist ein Modellvergleich für die beiden oben gezeigten Modelle sowie drei SES-Modelle. Der optimale Wert von 945 für das SES-Modell beträgt etwa 0,3, aber ähnliche Ergebnisse (mit etwas mehr oder weniger Reaktionsfähigkeit) werden mit 0,5 und 0,2 erhalten. (A) Holts linearer Exp. Glättung mit alpha 0.3048 und beta 0,008 (B) Holts linear exp. Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,3 (E) Einfache exponentielle Glättung mit alpha 0,2 Ihre Statistiken sind nahezu identisch, so dass wir wirklich die Wahl auf der Basis machen können Von 1-Schritt-Vorhersagefehlern innerhalb der Datenprobe. Wir müssen auf andere Überlegungen zurückgreifen. Wenn wir glauben, dass es sinnvoll ist, die aktuelle Trendschätzung auf das, was in den letzten 20 Perioden passiert ist, zugrunde zu legen, können wir für das LES-Modell mit 945 0,3 und 946 0,1 einen Fall machen. Wenn wir agnostisch sein wollen, ob es einen lokalen Trend gibt, dann könnte eines der SES-Modelle leichter zu erklären sein, und würde auch für die nächsten 5 oder 10 Perioden mehr Mittelprognosen geben. (Rückkehr nach oben.) Welche Art von Trend-Extrapolation am besten ist: horizontal oder linear Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass es, wenn die Daten bereits für die Inflation angepasst wurden (wenn nötig), unprätent ist, kurzfristige lineare Werte zu extrapolieren Trends sehr weit in die Zukunft. Die heutigen Trends können sich in Zukunft aufgrund unterschiedlicher Ursachen wie Produktveralterung, verstärkte Konkurrenz und konjunkturelle Abschwünge oder Aufschwünge in einer Branche abschwächen. Aus diesem Grund führt eine einfache exponentielle Glättung oft zu einer besseren Out-of-Probe, als ansonsten erwartet werden könnte, trotz ihrer quotnaivequot horizontalen Trend-Extrapolation. Damped Trendmodifikationen des linearen exponentiellen Glättungsmodells werden in der Praxis häufig auch eingesetzt, um in seinen Trendprojektionen eine Note des Konservatismus einzuführen. Das Dämpfungs-Trend-LES-Modell kann als Spezialfall eines ARIMA-Modells, insbesondere eines ARIMA-Modells (1,1,2), implementiert werden. Es ist möglich, Konfidenzintervalle um langfristige Prognosen zu berechnen, die durch exponentielle Glättungsmodelle erzeugt werden, indem man sie als Spezialfälle von ARIMA-Modellen betrachtet. (Achtung: Nicht alle Software berechnet die Konfidenzintervalle für diese Modelle korrekt.) Die Breite der Konfidenzintervalle hängt ab von (i) dem RMS-Fehler des Modells, (ii) der Art der Glättung (einfach oder linear) (iii) dem Wert (S) der Glättungskonstante (n) und (iv) die Anzahl der Perioden vor der Prognose. Im Allgemeinen breiten sich die Intervalle schneller aus, da 945 im SES-Modell größer wird und sich viel schneller ausbreiten, wenn lineare statt einfache Glättung verwendet wird. Dieses Thema wird im Abschnitt "ARIMA-Modelle" weiter erläutert. (Rückkehr nach oben.) Lassen Sie v den prognostizierten Wert für die Perioden 1 bis T und v den Prognosewert zum Zeitpunkt t. Wir drücken v als Summe zweier Terme aus, deren Mittelwert zur Zeit t und deren Abweichung vom Mittel zur Zeit t, epsilon. Mit anderen Worten, v overline epsilon Die Overline wird basierend auf den Argumenten ausgewählt. Der Epsilon-Term wird als normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Null und Standardabweichung Sigma () 0,234 angenommen. Die gleitende Mittelwertbildung der Ordnung q wird gewählt, MA (q), wobei q die Anzahl der verzögerten Glieder im gleitenden Durchschnitt ist. Wir verwenden die folgende gleitende durchschnittliche Spezifikation: epsilon sum mu wobei mu unabhängig verteilte normale normale Zufallsvariablen sind. Um sicherzustellen, dass die Standardabweichung von t gleich ihrem voreingestellten Wert ist, setzen wir die alpha frac) Beachten Sie, dass epsilon t von q1 zufälligen Terme abhängt. Der R-Code, den ich für das obige Modell verwendet habe, frage ich mich, dass sich Alpha durch die Zeit ändert, die der Parameter für die Figur im Papier ist: Hinweis: MA (30), (31 Termini), Sigma (epsilon) 0.234, 31 initial Werte von mu0, 10.000 Simulation Bin ich vermisst irgendwelche Dinge, die ich gefragt habe, sind eine häufig verwendete Tool Zum Überprüfen der Zufälligkeit in einem Datensatz. Diese Zufälligkeit wird durch Berechnen von Autokorrelationen für Datenwerte bei variierenden Zeitverzögerungen ermittelt. Wenn sie zufällig sind, sollten solche Autokorrelationen nahezu null für irgendwelche und alle zeitlichen Verzögerungen sein. Wenn nicht-zufällig, dann werden eine oder mehrere der Autokorrelationen signifikant ungleich Null sein. Darüber hinaus werden Autokorrelationsdiagramme in der Modellidentifikationsstufe für autoregressive, gleitende mittlere Zeitreihenmodelle von Box-Jenkins verwendet. Autokorrelation ist nur ein Maß der Zufälligkeit Beachten Sie, dass unkorreliert nicht unbedingt zufällig bedeutet. Daten mit signifikanter Autokorrelation sind nicht zufällig. Daten, die keine signifikante Autokorrelation aufweisen, können jedoch auf andere Weise noch nicht-zufällig auftreten. Autokorrelation ist nur ein Maß der Zufälligkeit. Im Rahmen der Modellvalidierung (die der primäre Typ der Zufälligkeit ist, die wir im Handbuch behandeln) ist die Überprüfung auf Autokorrelation typischerweise ein ausreichender Test der Zufälligkeit, da die Residuen von schlechten Anpassungsmodellen dazu tendieren, nicht-subtile Zufälligkeit zu zeigen. Einige Anwendungen erfordern jedoch eine strengere Bestimmung der Zufälligkeit. In diesen Fällen wird eine Batterie von Tests, die eine Überprüfung auf Autokorrelation einschließen kann, angewandt, da Daten in vielen verschiedenen und oft subtilen Arten nicht-zufällig sein können. Ein Beispiel dafür, wo eine strengere Überprüfung der Zufälligkeit erforderlich ist, wäre das Testen von Zufallszahlengeneratoren. Beispiel-Diagramm: Autokorrelationen sollten nahe-Null für die Zufälligkeit sein. Dies ist bei diesem Beispiel nicht der Fall, so dass die Zufallsannahme fehlschlägt. Dieses Beispiel-Autokorrelationsdiagramm zeigt, dass die Zeitreihe nicht zufällig ist, sondern vielmehr einen hohen Grad an Autokorrelation zwischen benachbarten und nahe benachbarten Beobachtungen aufweist. Definition: r (h) versus h Autokorrelationsdiagramme werden durch vertikale Achse gebildet: Autokorrelationskoeffizient, wobei C h die Autokovarianzfunktion ist und C 0 die Varianzfunktion ist. Beachten Sie, dass R h zwischen -1 und 1 liegt Folgende Formel für die Autokovarianz-Funktion Obwohl diese Definition weniger Vorspannung hat, hat die (1 / N) - Formulierung einige wünschenswerte statistische Eigenschaften und ist die am häufigsten in der Statistikliteratur verwendete Form. Siehe Seiten 20 und 49-50 in Chatfield für Details. Horizontale Achse: Zeitverzögerung h (h 1, 2, 3.) Die obige Zeile enthält auch mehrere horizontale Bezugslinien. Die Mittellinie ist auf Null. Die anderen vier Zeilen sind 95 und 99 Konfidenzbänder. Beachten Sie, dass es zwei verschiedene Formeln für die Erzeugung der Vertrauensbänder gibt. Wenn das Autokorrelationsdiagramm verwendet wird, um auf Zufälligkeit zu testen (dh keine Zeitabhängigkeit in den Daten), wird die folgende Formel empfohlen: wobei N die Stichprobengröße ist, z die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und (alpha ) Ist das Signifikanzniveau. In diesem Fall haben die Vertrauensbänder eine feste Breite, die von der Probengröße abhängt. Dies ist die Formel, die verwendet wurde, um die Vertrauensbänder im obigen Diagramm zu erzeugen. Autokorrelationsdiagramme werden auch in der Modellidentifikationsstufe für die Montage von ARIMA-Modellen verwendet. In diesem Fall wird für die Daten ein gleitendes Durchschnittsmodell angenommen und die folgenden Konfidenzbänder erzeugt: wobei k die Verzögerung, N die Stichprobengröße, z die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und (alpha) ist Das Signifikanzniveau. In diesem Fall nehmen die Vertrauensbänder zu, wenn die Verzögerung zunimmt. Das Autokorrelationsdiagramm kann Antworten auf die folgenden Fragen liefern: Sind die Daten zufällig Ist eine Beobachtung, die mit einer angrenzenden Beobachtung in Beziehung steht, ist eine Beobachtung, die mit einer zweimal entfernten Beobachtung zusammenhängt (usw.) Ist die beobachtete Zeitreihe weißes Rauschen Ist die beobachtete Zeitreihe sinusförmig Ist die beobachtete Zeitreihe autoregressiv Was ist ein geeignetes Modell für die beobachtete Zeitreihe Ist das Modell gültig und ausreichend Ist die Formel ss / sqrt gültig Bedeutung: Sicherstellung der Gültigkeit der technischen Ergebnisse Randomness (zusammen mit festem Modell, fester Variation und fester Verteilung) Ist eine der vier Annahmen, die typischerweise allen Messprozessen zugrunde liegen. Die Zufälligkeitsannahme ist aus den folgenden drei Gründen von entscheidender Bedeutung: Die meisten statistischen Standardtests hängen von der Zufälligkeit ab. Die Gültigkeit der Testresultate steht in direktem Zusammenhang mit der Gültigkeit der Zufallsannahme. Viele häufig verwendete statistische Formeln hängen von der Zufallsannahme ab, wobei die häufigste Formel die Formel zur Bestimmung der Standardabweichung des Stichprobenmittels ist: wobei s die Standardabweichung der Daten ist. Obwohl stark verwendet, sind die Ergebnisse aus der Verwendung dieser Formel ohne Wert, es sei denn, die Zufälligkeitsannahme gilt. Für univariate Daten ist das Standardmodell Wenn die Daten nicht zufällig sind, ist dieses Modell falsch und ungültig, und die Schätzungen für die Parameter (wie die Konstante) werden unsinnig und ungültig. Kurz, wenn der Analytiker nicht auf Zufälligkeit prüft, dann wird die Gültigkeit vieler statistischer Schlüsse verdächtig. Das Autokorrelationsdiagramm ist eine hervorragende Möglichkeit, auf eine solche Zufälligkeit zu prüfen.4 Lineare Modelle Lassen Sie uns einige lineare Modelle ausprobieren, beginnend mit einer multiplen Regression und Analyse von Kovarianzmodellen und dann mit Modellen unter Verwendung von Regressionsplines. In diesem Abschnitt werde ich die Daten in Abschnitt 3 lesen, so stellen Sie sicher, dass die fpe Datenrahmen an Ihre aktuelle Sitzung angehängt ist. 4.1 Anpassung eines Modells Um ein gewöhnliches lineares Modell mit Fruchtbarkeitsänderung als Antwort und Einstellung und Anstrengung als Prädiktoren anzupassen, ist zu beachten, dass lm eine Funktion ist, und wir weisen das Ergebnis einem Objekt zu, das wir lmfit aufrufen (für lineares Modell passen). Dies speichert die Ergebnisse der fit für eine spätere Untersuchung. Das Argument für lm ist eine Modellformel. Die die Antwort auf der linken Seite der Tilde hat (lesen Quotis modelliert asquot) und eine Wilkinson-Rogers Modellspezifikation Formel auf der rechten Seite. R verwendet, um Elementarbegriffe wie in AB für Interaktionen zu kombinieren, wie in A: B für beide Haupteffekte und Interaktionen, so dass AB ABA: BA nettes Feature von R ist, dass Sie Interaktionen zwischen kategorischen Variablen, zwischen kategorischen und kontinuierlichen Variablen erstellen können , Und sogar zwischen numerischen Variablen (es schafft nur die Cross-Produkt). 4.2 Untersuchen eines Fits Sehen wir uns die Ergebnisse der Fit an. Eine Sache, die Sie mit lmfit tun können. Wie Sie können mit jedem R-Objekt, ist es zu drucken. Die Ausgabe enthält die Modellformel und die Koeffizienten. Sie können ein bisschen mehr Details erhalten, indem Sie eine Zusammenfassung anfordern: Die Ausgabe enthält eine konventionellere Tabelle mit Parameterschätzungen und Standardfehlern sowie den Reststandardfehler und mehrere R-Quadrate. (Standardmäßig enthält S-Plus die Matrix der Korrelationen zwischen den Parameterschätzungen, die oft sperrig sind, während R sie sinnvoll weggibt.) Wenn Sie sie wirklich benötigen, fügen Sie die Option correlationTRUE zum Aufruf der Zusammenfassung hinzu.) Um eine hierarchische Varianzanalyse zu erhalten Tabelle entsprechend der Einführung jeder der Begriffe in das Modell ein zu einer Zeit, in der gleichen Reihenfolge wie in der Modellformel, versuchen Sie die anova-Funktion: Alternativ können Sie die Ergebnisse mit Dies wird ein Satz von vier Parzellen: Residuen versus (Quadratwurzeln von standardisierten Residuen gegenüber angepaßten Werten und eine Auftragung von Resten gegen Hebel, die Banden entsprechend den Cook-Distanzen von 0,5 und 1 addiert. R fordert Sie auf, zu klicken Geben Sie par (mfrowc (2,2)) ein, um das Grafikfenster so einzurichten, dass es in einem Layout mit 2 Zeilen und 2 Spalten gleichzeitig vier Diagramme zeigt. Wiederholen Sie den Graphen mit plot (lmfit). Um zu einem einzelnen Diagramm pro Fenster zurückzukehren, verwenden Sie par (mfrowc (1,1)). Es gibt viele andere Möglichkeiten, um Ihre Diagramme anzupassen, indem Sie übergeordnete Parameter festlegen, geben Sie par ein, um mehr zu lernen. Technische Anmerkung: Sie haben vielleicht bemerkt, dass wir die Funktionsplot mit allen Arten von Argumenten verwendet haben: eine oder zwei Variablen, einen Datenrahmen und nun ein lineares Modell passen. In R-Jargon-Diagramm ist eine generische Funktion. Es prüft auf die Art von Objekt, das Sie plotten und ruft dann die entsprechende (mehr spezialisierte) Funktion, um die Arbeit zu tun. Es gibt tatsächlich viele Plot-Funktionen in R, einschließlich plot. data. frame und plot. lm. Für die meisten Zwecke die generische Funktion wird das Richtige tun, und Sie müssen nicht um sein inneres Arbeiten betroffen sein. 4.3 Ergebnisse extrahieren Es gibt einige spezielle Funktionen, mit denen Sie Elemente aus einem linearen Modell passen können. Zum Beispiel werden die eingegebenen Werte extrahiert. In diesem Fall wird es sie auch ausdrucken, weil wir ihnen nichts zugestoßen haben. Um die Koeffizienten zu extrahieren, verwenden Sie die coef-Funktion (oder die längeren Formkoeffizienten). Um die Residuen zu erhalten, verwenden Sie die Residualfunktion (oder den Abkürzungsrest): Wenn Sie neugierig sind, genau zu sehen Was ein lineares Modell fit produziert, versuchen Sie die Funktion, die die genannten Komponenten einer linearen Passform auflistet. Alle diese Objekte können mit dem Operator extrahiert werden. Jedoch wenn es eine spezielle Extraktorfunktion gibt, werden Sie ermutigt, es zu benutzen. 4.4 Faktoren und Kovariaten Bisher waren unsere Prädiktoren kontinuierliche Variablen oder Kovariaten. Wir können auch kategorische Variablen oder Faktoren verwenden. Lassen Sie uns Gruppe Familienplanung in drei Kategorien: Die Funktion schneidet einen Faktor oder kategorische Variable. Das erste Argument ist ein Eingangsvektor, der zweite ein Vektor von Breakpoints, und der dritte ist ein Vektor von Kategorienetiketten.
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